[문제]
때는 2040년, 이민혁은 우주에 자신만의 왕국을 만들었다. 왕국은 N개의 행성으로 이루어져 있다. 민혁이는 이 행성을 효율적으로 지배하기 위해서 행성을 연결하는 터널을 만들려고 한다.
| 행성은 3차원 좌표위의 한 점으로 생각하면 된다. 두 행성 A(xA, yA, zA)와 B(xB, yB, zB)를 터널로 연결할 때 드는 비용은 min( | xA-xB | , | yA-yB | , | zA-zB | )이다. |
민혁이는 터널을 총 N-1개 건설해서 모든 행성이 서로 연결되게 하려고 한다. 이때, 모든 행성을 터널로 연결하는데 필요한 최소 비용을 구하는 프로그램을 작성하시오.
[입력]
첫째 줄에 행성의 개수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000) 다음 N개 줄에는 각 행성의 x, y, z좌표가 주어진다. 좌표는 -109보다 크거나 같고, 109보다 작거나 같은 정수이다. 한 위치에 행성이 두 개 이상 있는 경우는 없다.
1
2
3
4
5
6
5
11 -15 -15
14 -5 -15
-1 -1 -5
10 -4 -1
19 -4 19
[출력]
첫째 줄에 모든 행성을 터널로 연결하는데 필요한 최소 비용을 출력한다.
1
4
[풀이]
풀자마자 든 생각 지난번에 풀었던 문제 “신기한 소수” 문제처럼
- 계산은 다른 함수를 통해 진행하고
- 최소비용을 찾는 과정만 반복!
→ 하지만 이런식으로 진행을 하다보면 메모리도 많이 차지하고, 속도도 훨씬 느리기 때문에
서로 다른 개체가 ‘연결’되어 있다는 가정이 존재하는 문제는 ⇒ “최소 신장 트리”문제로 해결!
- 각각의 x,y,z 좌표와 각 행성 간의 비용을 구한 후 정렬
- 정렬된 리스트들을 가지고, 크루스칼 알고리즘 반복 → 최소 신장 트리 만들어짐
최소 신장 트리란?
하나의 그래프가 있을때, 모든 노드를 포함하면서 모든 노드 간에 연결을 되어있되, 사이클은 존재하지 않는 그래프
→ 서로 공통된 부분이 없는 “서로소 집합” 형태에 부모와 자식 간의 관계를 임의로 만들어 “트리 형태”로 나타낸 구조 !
→ 문제 유형: “서로 다른” 개체가 연결되어 있다.
→ 장점: 인접행렬, 리스트보다 메모리 사용이 적고, 속도가 빠르다.
→ 구현:
- find 연산: 각 노드의 부모 노드 찾기
- union 연산: 부모-자식 간의 노드 관계 형성
1
2
3
4
5
parent = [i for i in range(n+1)]
def find_parent(parent, x):
if parent[x] != x: #부모가 다른지 확인
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
def union_parent(parent, planet1, planet2):
#부모가 같은지 확인
planet1 = find_parent(parent, planet1)
planet2 = find_parent(parent, planet2)
#부모-자식 관계 형성(각각의 행성은 임의로 부여한 행성 번호임)
if planet1 < planet2:
parent[planet2] = planet1
else:
parent[planet1] = planet2
크루스칼 알고리즘이란?
→ 최소 신장 트리를 찾는 알고리즘
→ 간선 비용을 ‘’최소’’로 만드는 것
동작과정
- 주어진 모든 간선 정보에 대해 간선 비용이 낮은 순서로 정렬
- 정렬된 간선 정보를 하나씩 확인하면서 -> 현재의 간선이 노드들 간의 사이클을 발생시키는지 확인
- 만약 사이클이 발생하지 않는 경우, 최소 신장 트리에 포함 else: 최소 신장 트리에 포함시키지 않음
- 1~3번의 과정을 모든 간선 정보에 대해 반복 수행
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
res = 0
answer = 0
#count_list : 간선 비용 저장 리스트 (cost,좌표1,좌표2)
for co in count_list:
cost, a,b = co
#사이클이 형성되는지 확인 - 부모가 다른지
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent,b):
union_parent(parent,a,b)
answer += cost
res += 1
#모든 경우를 다 보기 전에 행성 5개를 다 보면 종료
if res == n:
break
최종 정답 코드
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
def find_parent(parent, x):
if parent[x] != x: #부모가 다른지 확인
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
def union_parent(parent, planet1, planet2):
#부모가 같은지 확인
planet1 = find_parent(parent, planet1)
planet2 = find_parent(parent, planet2)
#부모-자식 관계 형성(각각의 행성은 임의로 부여한 행성 번호임)
if planet1 < planet2:
parent[planet2] = planet1
else:
parent[planet1] = planet2
n = int(input())
parent = [i for i in range(n+1)]
x_list = []
y_list = []
z_list = []
#(행성좌표, 행성번호)
for i in range(1,n+1):
x,y,z = map(int,input().split())
x_list.append((x,i))
y_list.append((y,i))
z_list.append((z,i))
x_list.sort()
y_list.sort()
z_list.sort()
count_list = []
for i in range(1,n):
count_list.append((abs(x_list[i][0]-x_list[i-1][0]), x_list[i][1], x_list[i-1][1]))
count_list.append((abs(y_list[i][0]-y_list[i-1][0]), y_list[i][1], y_list[i-1][1]))
count_list.append((abs(z_list[i][0]-z_list[i-1][0]), z_list[i][1], z_list[i-1][1]))
count_list.sort()
res = 0
answer = 0
#count_list : 간선 비용 저장 리스트 (cost,좌표1,좌표2)
for co in count_list:
cost, a,b = co
#사이클이 형성되는지 확인 - 부모가 다른지
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent,b):
union_parent(parent,a,b)
answer += cost
res += 1
#모든 경우를 다 보기 전에 행성 5개를 다 보면 종료
if res == n:
break
print(answer)
[배운점]
- 서로 다른 개체(서로소 집합)을 연결시킬 경우 → ‘최소 신장 트리’임을 인지해야 함
- 최소 신장트리를 구하기 위한 알고리즘으로 “크루스칼 알고리즘” 사용
- 비용, 좌표(노드) 정렬 → 사이클이 형성되는지 확인 → 없을 경우 → 트리에 추가
- 문제 유형 파악에 좋은듯!